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　　BPCQAR

　　???1。PCQARB

　　例题：

　　1． 设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。

　　AEAF

　　?2。EDFB

　　AEDCBF

　　???1（梅氏定理）【分析】CEF截△ABD→

　　EDCBFA

　　求证：

　　【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一 作CF的平行线

　　2、过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F，交CB于D。

　　例

　　1求证：。

　　【分析】连结并延长AG交BC于M，则M为BC的中点。

　　例

　　DEG截△ABM→

　　（梅氏定理）

　　DGF截△ACM→（梅氏定理）

　　∴===1

　　【评注】梅氏定理

　　3．D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上，AD、BE、CF交成△LMN。求S△LMN。

　　【分析】梅氏定理

　　4．以△ABC各边为底边向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG。求证：AE、BF、CG相交于一点。【分析】塞瓦定理

　　25． 已知△ABC中，∠B=2∠C。求证：AC=AB+AB·BC。

　　【分析】托勒密定理过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。则CD=DA=AB，AC=BD。由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。

　　6． 已知正七边形A1A2A3A4A5A6A7。求证：【分析】托勒密定理

　　7．过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A, B.所。

　　作割线交圆于C, D两点，C在P, D之间.在弦CD上取一点Q, 使?DAQ??PBC.求证：?DBQ??PAC.7． △ABC的BC边上的高AD的延长线交外接圆于P，作PE⊥AB于E，延长ED交AC延长线于F。求证：BC·EF=BF·CE+BE·CF。

　　【分析】西姆松定理（西姆松线）

　　8． 正六边形ABCDEF的对角线AC、CE分别被内分点M、N分成的比为AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共线。求k。（23-IMO-5）【分析】面积法

　　例1 如图，G是?ABC内一点AG，BG，CG的延长线分别交对边于D，E，F，?AGF，?BGF，?BGD 的面积分别为40，30，35。求?ABC的面积。

　　例2，已知AC，CE是正六边行ABCDEF的两条对角线，点M，N分别内分AC，CE，且使如果B，M，N三点共线，试求 k的值

　　变式，已知AC，CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，点M，N分别内分AC，CE，且使

　　AMCN

　　??k。ACCE

　　AMCN3??，ACCE

　　3求证：B，M，N三点共线。

　　例3，如图，过?ABC的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线，分别和BC，CA，AB的延长线交于P，Q，R。求证：P，Q，R三点共线。

　　C

　　例4。设AF，BE，CD分别是?ABC的内角平分线，中线和高，且AC=b,AB=c,求证：AF，BE，CD三线共点的充要条件是cosA=

　　c，(b?c)

　　例4，在凸四边形ABCD中，?CAB=?CAD，E和F分别是边CD，BC上的点，且满足?CAF=?CAE，求证：AC，BE，DF三线共点。

　　变式：在四边形ABCD中，对角线AC平分?BAD。在CD上取一点E，BE与AC相交于G，延长DG交BC于F。求证：?FAC=?EAC。